Mengapa menyelesaikan alun-alun bermanfaat? + Contoh

Menjawab:

Untuk menyederhanakan ekspresi kuadrat sehingga menjadi terpecahkan dengan akar kuadrat.

Penjelasan:

Melengkapi kuadrat adalah contoh transformasi Tschirnhaus - penggunaan substitusi (meskipun secara implisit) untuk mengurangi persamaan polinom menjadi bentuk yang lebih sederhana.

Jadi diberikan:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 "" # dengan #a! = 0 #

kita bisa menulis:

# 0 = 4a (kapak ^ 2 + bx + c) #

#color (white) (0) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac #

#color (white) (0) = (2ax) ^ 2 + 2 (2ax) b + b ^ 2- (b ^ 2-4ac) #

#color (white) (0) = (2ax + b) ^ 2- (sqrt (b ^ 2-4ac)) ^ 2 #

#color (white) (0) = ((2ax + b) -sqrt (b ^ 2-4ac)) ((2ax + b) + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

#color (white) (0) = (2ax + b-sqrt (b ^ 2-4ac)) (2ax + b + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

Karenanya:

# 2ax = -b + -sqrt (b ^ 2-4ac) #

Begitu:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Jadi telah dimulai dengan persamaan kuadrat dalam bentuk:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

kami mendapatkannya ke dalam bentuk # t ^ 2-k ^ 2 = 0 # dengan #t = (2ax + b) # dan # k = sqrt (b ^ 2-4ac) #, menghilangkan istilah linear hanya menyisakan istilah kuadrat.

Selama kita senang menghitung akar kuadrat, kita sekarang bisa menyelesaikan persamaan kuadratik.

Melengkapi kuadrat juga berguna untuk mendapatkan persamaan lingkaran, elips atau bagian kerucut lainnya ke dalam bentuk standar.

Misalnya, diberikan:

# x ^ 2 + y ^ 2-4x + 6y-12 = 0 #

menyelesaikan alun-alun yang kami temukan:

# (x-2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 5 ^ 2 #

memungkinkan kita untuk mengidentifikasi persamaan ini sebagai lingkaran dengan pusat #(2, -3)# dan jari-jari #5#.